【代码随想录】动态规划1-基础

动态规划

动态规划中每一个状态一定是由上一个状态推导出来的，这一点就区分于贪心，贪心没有状态推导，而是从局部直接选最优的。

解题步骤：

• 确定 dp 数组（dp table）以及下标的含义
• 确定递推公式
• dp 数组如何初始化
• 确定遍历顺序
• 举例推导 dp 数组

509. 斐波那契数

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斐波那契数，通常用 F(n) 表示，形成的序列称为 斐波那契数列 。该数列由 0 和 1 开始，后面的每一项数字都是前面两项数字的和。也就是： F(0) = 0，F(1) = 1， F(n) = F(n - 1) + F(n - 2)，其中 n > 1。给你 n ，请计算 F(n) 。

思路

• 确定 dp 数组（dp table）以及下标的含义：第 i 个数的斐波那契数值是 dp[i]
• 确定递推公式：题目中已经告知 dp[i] = dp[i - 1] + dp[i - 2]
• dp 数组如何初始化：题目中也告知 dp[0] = 0, dp[1] = 1
• 确定遍历顺序：从递归公式dp[i] = dp[i - 1] + dp[i - 2];中可以看出，dp[i]是依赖 dp[i - 1] 和 dp[i - 2]，那么遍历的顺序一定是从前到后遍历的
• 举例推导 dp 数组：

class Solution:
    def fib(self, n: int) -> int:
        res = [0, 1]

        for i in range(2, n + 1):
            res.append(res[i - 1] + res[i - 2])
        
        return res[n]

70. 爬楼梯

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假设你正在爬楼梯。需要 n 阶你才能到达楼顶。每次你可以爬 1 或 2 个台阶。你有多少种不同的方法可以爬到楼顶呢？

思路

• 确定 dp 数组（dp table）以及下标的含义：到达第 i 阶的走法为 dp[i]
• 确定递推公式：可以定义为 dp[i] = dp[i - 1] + dp[i - 2]（dp[i - 1] 走一步，dp[i - 2] 走两步）
• dp 数组如何初始化：第 0 阶不走，可以定义为 0（dp[0] = 0）,第一阶只有 1 种走法（dp[1] = 1），第二阶有 2 种（dp[2] = 2）
• 确定遍历顺序：从前往后
• 举例推导 dp 数组：

class Solution:
    def climbStairs(self, n: int) -> int:
        res = [0, 1, 2]

        for i in range(3, n + 1):
            res.append(res[i - 1] + res[i - 2])
        
        return res[n]

746. 使用最小花费爬楼梯

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给你一个整数数组 cost ，其中 cost[i] 是从楼梯第 i 个台阶向上爬需要支付的费用。一旦你支付此费用，即可选择向上爬一个或者两个台阶。

你可以选择从下标为 0 或下标为 1 的台阶开始爬楼梯。请你计算并返回达到楼梯顶部的最低花费。

思路

• 确定 dp 数组（dp table）以及下标的含义：到达第 i 阶的最小花费
• 确定递推公式：可以定义为 dp[i] = min(dp[i - 1] + cost[i - 1], dp[i - 2] + cost[i - 2])（dp[i - 1] 走一步，dp[i - 2] 走两步）
• dp 数组如何初始化：题目已经给出，可以从 0 或者 1 开始走，说明 dp[0] dp[1] 都是 0
• 确定遍历顺序：从前往后
• 举例推导 dp 数组：

class Solution:
    def minCostClimbingStairs(self, cost: List[int]) -> int:
        res = 0
        dp = [0, 0]
        for i in range(2, len(cost) + 1):
            dp.append(min(dp[i - 1] + cost[i - 1], dp[i - 2] + cost[i - 2]))
        
        return dp[len(cost)]

62.不同路径

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一个机器人位于一个 m x n 网格的左上角 （起始点在下图中标记为 “Start” ）。机器人每次只能向下或者向右移动一步。机器人试图达到网格的右下角（在下图中标记为 “Finish” ）。

问总共有多少条不同的路径？

思路

• 确定 dp 数组（dp table）以及下标的含义：到达第 (i, j) 位置的方法数
• 确定递推公式：可以定义为 dp[i][j] = dp[i-1][j] + dp[i][j-1]，要么从左边来，要么从上面来。注意考虑边界情况
• dp 数组如何初始化：可以定义为 1，这样 dp[0][1] 和 dp[1][0] 就可以使用递推公式来计算了
• 确定遍历顺序：从前往后
• 举例推导 dp 数组：

class Solution:
    def uniquePaths(self, m: int, n: int) -> int:
        dp = [[0] * n for _ in range(m)]
        dp[0][0] = 1
        for i in range(m):
            for j in range(n):
                # 第一行
                if i == 0:
                    if j != 0:
                        dp[i][j] = dp[i][j - 1]
                # 第一列
                elif j == 0:
                    if i != 0:
                        dp[i][j] = dp[i - 1][j]
                # 剩余情况
                else:
                    dp[i][j] = dp[i - 1][j] + dp[i][j - 1]
        
        return dp[m - 1][n - 1]

其实第一行（dp[0][:]）和第一列（dp[:][0]）只能为 1，所以可以从 1 开始遍历

数论思路（高中数学 😂）

一共需要 m - 1 个竖着走和 n - 1 个横着走，总共是 m + n - 2 个步骤。相当于是给 m + n - 2 个不同的数，随便取 m - 1 个数，有几种取法。

63. 不同路径 II

343. 整数拆分

96.不同的二叉搜索树